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EJERCICIOS
1.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar en el lanzamiento de un dado?
Existen dos formar de obtener el resultado:
Solución.
a).- Considerando que al lanzar un dado la mitad de eventos son pares entonces la probabilidad de par es igual a ½
b).- Como existen 6 caras el dado entonces podemos determinar la probabilidad como:
P(número impar)=3/6=1/2
2.- Encuentre la probabilidad de formar la palabra DEPARTAMENTO si se sabe que existen las siguientes letras: 1 D, 2 E, 1 P, 2 A, 1 R, 2 T, 1 M, 1 N, 1 O.
Solución.
El número de maneras en que podemos distribuir estas letra corresponde a una permutación, por lo que el número de palabras que podemos formar con las letras es la siguiente:
12!/8=59875200
sin embargo, como nos interesa un orden, en el caso de la palabra departamento tendríamos:
3.- En una urna se encuentran las siguientes canicas, 3 rojas, 4 azules y 3 verdes. Si se realiza un una toma de 4 canicas, ¿cuál es la probabilidad de obtener una canica roja, 1 verde y 2 azules?
Solución.
7*3*10= 210 elecciones tomando cuatro cuatro canicas
4.- En una urna se encuentran 3 bolas negras y 2 rojas. Se extrae una bola, se registra el color y se devuelve a la urna. Se extrae, de nuevo, otra bola.
a) Describe el espacio muestra.
b) En que cambia la descripción del espacio muestra si no se presenta sustitución.
Considerando las condiciones del inciso a) resuelva los siguientes incisos:
c) ¿Cuál es la Probabilidad de que al menos una sea negra?
d) ¿Cuál es la Probabilidad de que las dos sean rojas?
Solución.
a) El espacio muestra siempre será el mismo:
S = {3 bolas negra, 2 rojas}
b) El espacio muestra cambia en este caso, ya que depende de la elección de la primera bola dado que se tendrá que regresar a la urna, teniéndose la siguiente configuración, después de la primera toma:
S = { (2 bolas negras, 2 rojas), (3 negras, 1 roja)}
Existen dos formar de obtener el resultado:
Solución.
a).- Considerando que al lanzar un dado la mitad de eventos son pares entonces la probabilidad de par es igual a ½
b).- Como existen 6 caras el dado entonces podemos determinar la probabilidad como:
P(número impar)=3/6=1/2
2.- Encuentre la probabilidad de formar la palabra DEPARTAMENTO si se sabe que existen las siguientes letras: 1 D, 2 E, 1 P, 2 A, 1 R, 2 T, 1 M, 1 N, 1 O.
Solución.
El número de maneras en que podemos distribuir estas letra corresponde a una permutación, por lo que el número de palabras que podemos formar con las letras es la siguiente:
12!/8=59875200
sin embargo, como nos interesa un orden, en el caso de la palabra departamento tendríamos:
3.- En una urna se encuentran las siguientes canicas, 3 rojas, 4 azules y 3 verdes. Si se realiza un una toma de 4 canicas, ¿cuál es la probabilidad de obtener una canica roja, 1 verde y 2 azules?
Solución.
7*3*10= 210 elecciones tomando cuatro cuatro canicas
4.- En una urna se encuentran 3 bolas negras y 2 rojas. Se extrae una bola, se registra el color y se devuelve a la urna. Se extrae, de nuevo, otra bola.
a) Describe el espacio muestra.
b) En que cambia la descripción del espacio muestra si no se presenta sustitución.
Considerando las condiciones del inciso a) resuelva los siguientes incisos:
c) ¿Cuál es la Probabilidad de que al menos una sea negra?
d) ¿Cuál es la Probabilidad de que las dos sean rojas?
Solución.
a) El espacio muestra siempre será el mismo:
S = {3 bolas negra, 2 rojas}
b) El espacio muestra cambia en este caso, ya que depende de la elección de la primera bola dado que se tendrá que regresar a la urna, teniéndose la siguiente configuración, después de la primera toma:
S = { (2 bolas negras, 2 rojas), (3 negras, 1 roja)}
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea al menos una bola negra sea elegida es?
La forma en que se puede elegir una bola independiente del orden es:
(5/1)(5/1)=(5*5)=25
5.- Se lanzan dos dados no cargados y se desea obtener lo siguiente:
a) ¿Cómo se describe el espacio de probabilidades, en dicho lanzamientos si se conoce que la variable aleatoria que define el espacio es determinado como la suma de los números?
b).- ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea menos a 9?
c).- ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor que 9?
d) .- ¿Cómo es la probabilidad si la suma sea igual a 9?
5.- Se lanzan dos dados no cargados y se desea obtener lo siguiente:
a) ¿Cómo se describe el espacio de probabilidades, en dicho lanzamientos si se conoce que la variable aleatoria que define el espacio es determinado como la suma de los números?
b).- ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea menos a 9?
c).- ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor que 9?
d) .- ¿Cómo es la probabilidad si la suma sea igual a 9?
Podemos abordar los problemas como en el caso del problema 4, es decir, analizamos el espacio a partir de un esquema:
Para dar la respuesta a los incisos anteriores determinemos sobre el esquema las siguientes áreas:
En todos los incisos denotemos la variable aleatoria X a la suma de los números que a parecen en las caras de los dados.
b).- ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea menos a 9?
b).- ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea menos a 9?
Analizando los puntos cuya suma es menor a 9 son todos los puntos que se encuentra en el área coloreada en verde. Si existe un total de 36 puntos y los que cumplen con esta característica son 26:
P(X<9)=26/36>
P(X<9)=26/36>
P(X>9)10/36=
d) .- ¿Cómo es la probabilidad si la suma sea igual a 9?
La probabilidad de obtener una variable cuya suma sea nueves es la marcada con puntos azules, por lo tanto su probabilidad es:
d) .- ¿Cómo es la probabilidad si la suma sea igual a 9?
La probabilidad de obtener una variable cuya suma sea nueves es la marcada con puntos azules, por lo tanto su probabilidad es:
P(X=9)4/36
Diagramas de árbol
Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.
Un instrumento útil dentro de la probabilidad condicional son las representaciones que nos permiten analizar la problemática de los eventos cuando estos ocurren uno después del otro. Concretamente estamos hablando de los diagramas de árbol. Este está constituido de varias ramas, cada rama parte de un nodo que representa un evento aleatorio diferente. En el esquema que se presenta a continuación se observa que la rama principal esta constituida de evento con diferentes posibilidades como son: la siguiente rama consta de eventos distintos, por ejemplo, que se realizan después de ocurrir , así de manera sucesiva pueden ocurrir eventos después de cualquiera de ellos. Otro ejemplo es el que se muestra, ocurren después del evento ocurriendo los eventos . También observamos que cada evento forma un universo para cada evento por lo que cada rama, de acuerdo con el axioma de normalizabilidad, tendrá que ser igual a uno.
Ejemplo A:
Si una persona ha de escoger como vestirse, teniendo 4 camisas, 6 pantalones, 5 pares de calcetines y 2 pares de zapatos, entonces tiene 4 × 6 × 5 ×2 = 240 formas de vestirse, ya que cada elección de la camisa (4 opciones) tiene 6 opciones para el pantalón, lo que da 4 × 6 = 24 opciones para la camisa y pantalón. Para cada una de esas 24 tiene 5 pares de calcetines, totalizando 120 formas, y para cada una de esas tiene dos opciones de los zapatos, de modo que se duplica el total y al final tiene 240 formas de vestirse. El principio de la multiplicación puede visualizarse mediante un diagrama de árbol.
EjemploB:
Lanzamos una moneda tres veces. Encontrar las siguientes probabilidades:
Lanzamos una moneda tres veces. Encontrar las siguientes probabilidades:
a) P(dos caras)
b) P(tres caras)
b) P(tres caras)
Solución: Utilizamos un diagrama de árbol para obtener todos los casos posibles:
Ejemplo C:
Se lanza una moneda cargada, a favor del lado del águila, si cae águila la moneda se saca una bola de una urna A en caso contrario de la urna B, la urna A tiene objetos de tipo s, la urna B objetos de tipo r, se sabe que por el contrario la urna B tiene objetos de tipo s y r, pero no la misma cantidad. Bosqueje mediante un diagrama de árbol la solución, a fin de encontrar la probabilidad.
Diagrama de Venn
Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de las matemáticas conocida como teoría de conjuntos.
Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo.
La Técnica de la Combinación
En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden.
Por lo tanto en las combinaciones se busca el número se subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de n objetos.
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación.
5Ç2=10
Cuantas manos de póker contienen exactamente 2 reyes
40Ç2=780
En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden.
Por lo tanto en las combinaciones se busca el número se subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de n objetos.
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación.
Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:
Cuantos subconjuntos de dos elementos se pueden formar por el conjunto: {p, q, r, s, t}. n=5 r=2
Ó
5Ç2=10
Cuantas manos de póker contienen exactamente 2 reyes
40Ç2=780
Ejemplo
Supongamos que se elegirá a tres miembros de una pequeña organización social con un total de diez miembros para que integren un comité. ¿Cuál es el número de grupos diferentes de tres personas que pueden ser elegidos, sin importar el diferente orden en el que cada grupo podría elegirse?
Solución
nCr =10C3 = n!/ r(n - r)! = 10!/ 3!(10–3)! =10×9x8×7!/ 3!x7!=10×9x8/3×2x1=720/6= 120
Supongamos que se elegirá a tres miembros de una pequeña organización social con un total de diez miembros para que integren un comité. ¿Cuál es el número de grupos diferentes de tres personas que pueden ser elegidos, sin importar el diferente orden en el que cada grupo podría elegirse?
Solución
nCr =10C3 = n!/ r(n - r)! = 10!/ 3!(10–3)! =10×9x8×7!/ 3!x7!=10×9x8/3×2x1=720/6= 120
Combinaciones representando la probabilidad
En términos de combinaciones, frecuentemente podemos determinar la probabilidad de un evento determinado, el número de combinaciones de resultados que incluyen ese evento en comparación con el número total de combinaciones posibles.
En términos de combinaciones, frecuentemente podemos determinar la probabilidad de un evento determinado, el número de combinaciones de resultados que incluyen ese evento en comparación con el número total de combinaciones posibles.
TECNICAS DEL CONTEO
Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados.
Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.
Sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades.
Las posibilidades serían: 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.
LA TÉCNICA DE LA MULTIPLICACIÓN
La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas.
En términos de fórmula
Número total de arreglos = m x n
Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:
Número total de arreglos = m x n x o.
La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas.
En términos de fórmula
Número total de arreglos = m x n
Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:
Número total de arreglos = m x n x o.
Ejemplo:
Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?
Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).
Número total de arreglos = 3 x 2
La Técnica de la Permutación
La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo un grupo de objetos.
Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?
Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes:
T D C D T C C D T T C D D C T C T D.
Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes:
T D C D T C C D T T C D D C T C T D.
Permutación:
El número de permutaciones de n objetos es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden.
El número de permutaciones de n objetos es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden.
Permutaciones En n Objetos
Permutaciones de n elementos tomando n a la vez es igual a:
nPn = n! = (n) x (n-1) x… x (2) x (1).
Permutaciones de n elementos tomando n a la vez es igual a:
nPn = n! = (n) x (n-1) x… x (2) x (1).
Ejemplo
Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa manufacturera serán sentados juntos en un banquete. Determinar el número de diferentes posiciones posibles de los asientos para los cinco individuos.
Solución
n Pn = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120.
Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa manufacturera serán sentados juntos en un banquete. Determinar el número de diferentes posiciones posibles de los asientos para los cinco individuos.
Solución
n Pn = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120.
Permutaciones En Subgrupo De n Objetos
El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, donde r es menor que n es igual a: nPr = n!/ (n-r)!
Ejemplo:
En relación al ejemplo anterior, supongamos que sólo a tres de los cinco directivos se les pedirá representar a la compañía en el banquete. ¿Cuántas diferentes posiciones serán posibles en la mesa considerando que pueden ser elegidos tres cualesquiera de los cinco individuos?
Solución
n Pr = 5 P3 = n!/ (n - r)! = 5!/ (5 - 3)! = (5)(4)(3)(2)(1)/ (2)(1) = 60
El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, donde r es menor que n es igual a: nPr = n!/ (n-r)!
Ejemplo:
En relación al ejemplo anterior, supongamos que sólo a tres de los cinco directivos se les pedirá representar a la compañía en el banquete. ¿Cuántas diferentes posiciones serán posibles en la mesa considerando que pueden ser elegidos tres cualesquiera de los cinco individuos?
Solución
n Pr = 5 P3 = n!/ (n - r)! = 5!/ (5 - 3)! = (5)(4)(3)(2)(1)/ (2)(1) = 60
La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:
Donde:
nPr: es el número de permutaciones posible.
n: es el número total de objetos.
r: es el número de objetos utilizados en un mismo momento.
!: Factorial.
nPr: es el número de permutaciones posible.
n: es el número total de objetos.
r: es el número de objetos utilizados en un mismo momento.
!: Factorial.
Ejemplo:
Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?
Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?
En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguiente:
n Pr = nr
n Pr = nr
Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden formar con las letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son las siguientes:
AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC
Usando la fórmula:
n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9
Otro ejemplo: cuantas palabras de 4 letras se pueden formar con la palabra PERMUTACION.
=7920
2.- cuantos arreglos se pueden formar con las letras COMPUTADORA.
12P(2)(2)(1)(1)= = TE TOCA A TI DAR EL RESULTADO…
AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC
Usando la fórmula:
n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9
Otro ejemplo: cuantas palabras de 4 letras se pueden formar con la palabra PERMUTACION.
=7920
2.- cuantos arreglos se pueden formar con las letras COMPUTADORA.
12P(2)(2)(1)(1)= = TE TOCA A TI DAR EL RESULTADO…
Permutación con remplazo o sustitución
¿De cuantas variables diferentes se pueden escoger 3 cartas de una baraja de 40 cartas de sustitución?
nr=6400
nr=6400
Permutaciones circular: (n-1)
De cuantas maneras se pueden sentar cinco niños para formar un círculo.
(n-1)= (5-1)= 4! = 24
PRINCIPIOS BASICOS DEL CONTEO
Hay dos principios básicos en combinatoria:
Principio de la adición.
Si se desea escoger un objeto que puede tener r tipos distintos, y para el primer tipo hay t1 opciones, para el segundo tipo hay t2 opciones, para el tercer tipo t3 opciones, y así sucesivamente hasta tr opciones para el ultimo tipo, entonces el objeto puede escogerse de t1 +t2 ...+t3 maneras.
Lo que el principio anterior dice, es que el total de opciones es la suma del número de opciones en cada tipo.
Como por ejemplo, supongamos que hay que escoger un libro de entre tres materias: matemáticas, historia y biología. Hay seis libros de matemáticas, 9 de historia y 4 de biología . Entonces tenemos 6+9+4 = 19 opciones.
Principio de la multiplicación.
Si una tarea se ha de realizar en n etapas, y si la primera etapa tiene k1 maneras de realizarse, la segunda tiene k2 maneras, y así sucesivamente hasta kn , maneras de realizar la ultima, entonces el numero de formas de realizar la tara es k 1× k2 ×...×kn.
Si una persona ha de escoger como vestirse, teniendo 4 camisas, 6 pantalones, 5 pares de calcetines y 2 pares de zapatos, entonces tiene 4 × 6 × 5 ×2 = 240 formas de vestirse, ya que cada elección de la camisa (4 opciones) tiene 6 opciones para el pantalón, lo que da 4 × 6 = 24 opciones para la camisa y pantalón. Para cada una de esas 24 tiene 5 pares de calcetines, totalizando 120 formas, y para cada una de esas tiene dos opciones de los zapatos, de modo que se duplica el total y al final tiene 240 formas de vestirse.
PROBABILIDAD CLASICA
Es aquella que considera los espacios muestrales uniformes y asigna la misma probabilidad a cada punto del espacio muestral.
Es aquella que considera los espacios muestrales uniformes y asigna la misma probabilidad a cada punto del espacio muestral.
Para calcular la probabilidad de cualquier eventose efectúa:
Ejemplo: obtener 2 águilas al lanzar 2 monedas al aire.
E={1} P= 1/4
E={1} P= 1/4
PROBABILIDAD FRECUENCIAL
Es el valor que se obtiene al obtener varios experimentos, el cociente del número de veces que se presenta el resultado.
Es el valor que se obtiene al obtener varios experimentos, el cociente del número de veces que se presenta el resultado.
Para obtener este valor en la calculadorase usa la tecla El número + SHIFT + Rand#.
PROBABILIDAD RELATIVA
Es el número de veces que ocurre ese suceso entre el número de experimentos.
PROBABILIDAD ABSOLUTA
El número de veces que ocurre un evento.
El número de veces que ocurre un evento.
ESPACIO MUESTRAL DISCRETO:
Si contiene un número finito o infinito numerable de puntos muestrales. Ejemplo: se tiene una urna con bolillas del 1 al 20. Se extrae una. S = { 1, 2, 3 …, 20 } (finito).
ESPACIO MUESTRAL CONTINUO:
Si contiene una infinidad no numerable de puntos muestrales. Ejemplo: su utiliza una balanza de precisión para pesar partículas metálicas. S= { X: 0 <>
Si contiene una infinidad no numerable de puntos muestrales. Ejemplo: su utiliza una balanza de precisión para pesar partículas metálicas. S= { X: 0 <>
EVENTO
Subconjunto del espacio muestral E---circunstancia, caso o razón. Que se suscita en cierto lugar.
Ejemplo: Evento A----obtener un numero par al lanzar un dado. S:{2, 4, 6}
Subconjunto del espacio muestral E---circunstancia, caso o razón. Que se suscita en cierto lugar.
Ejemplo: Evento A----obtener un numero par al lanzar un dado. S:{2, 4, 6}
.
NOTACION FACTORIAL
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5.040
8 40.320
9 362.880
10 3.628.800
15 1.307.674.368.000
20 24.32.902.008.176.640.000
25 15.511.210.043.330.985.984.000.000
50 3,04140932… × 1064
70 1,19785717… × 10100
450 1,73336873… × 101.000
3.249 6,41233768… × 1010.000
25.206 1,205703438… × 10100.000
100.000 2,8242294079… × 10456.573
Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:
Que de un modo resumido, se puede expresar como:
Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp.
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5.040
8 40.320
9 362.880
10 3.628.800
15 1.307.674.368.000
20 24.32.902.008.176.640.000
25 15.511.210.043.330.985.984.000.000
50 3,04140932… × 1064
70 1,19785717… × 10100
450 1,73336873… × 101.000
3.249 6,41233768… × 1010.000
25.206 1,205703438… × 10100.000
100.000 2,8242294079… × 10456.573
Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:
Que de un modo resumido, se puede expresar como:
Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp.
EVENTO AZAROSO
Tiene la probabilidad de ocurrir mayor que cero y menor que uno. Se dan en términos de fracciones.
Tiene la probabilidad de ocurrir mayor que cero y menor que uno. Se dan en términos de fracciones.
EXPERIMETO
Proceso que produce un resultado o una observación.
Proceso que produce un resultado o una observación.
EXPERIMENTOS DETERMINISTICOS
Son aquellos que describen los fenómenos cuyos resultados se predicen.
ESPACIO MUESTRAL
Se define como un conjunto de todos los resultados de un experimento o evento. Se representa por: ∫
Ejemplo:
Experimento: lanzamiento de 1 dado.
Espacio muestral “S”—resultado posible de ese lanzamiento.
S:{1, 2, 3, 4, 5,6}
S: {2}
Se define como un conjunto de todos los resultados de un experimento o evento. Se representa por: ∫
Ejemplo:
Experimento: lanzamiento de 1 dado.
Espacio muestral “S”—resultado posible de ese lanzamiento.
S:{1, 2, 3, 4, 5,6}
S: {2}
SUCESO:
Subconjunto del espacio muestral. Se representa con una letra mayúscula, con sus elementos entre llaves y separados por comas.
Subconjunto del espacio muestral. Se representa con una letra mayúscula, con sus elementos entre llaves y separados por comas.
Tipos de sucesos:
Suceso Seguro: se tiene la certeza de que se producirá porque contiene todos los resultados posibles de la experiencia (coincide con el espacio muestral).
Suceso Imposible: se tiene la certeza de que nunca se puede presentar, ya que no tiene elementos (es el conjunto vacío).
Suceso Contrario de A: es el que ocurre cuando no se da A; es su complementario respecto al espacio muestral (A’).
Suceso Elemental: es el que tiene un solo resultado, es un conjunto unitario.
Sucesos incompatibles: la intersección es conjunto vacío, es decir, no pueden los dos sucesos darse al mismo tiempo.
Sucesos Compatibles: la intersección de dos sucesos contiene algún elemento.
Inicios de la probabilidad.
Toda ciencia se desarrolla como respuesta a problemas que le llegan del exterior o como respuesta a problemas que ella misma crea a medida que va progresando.
Se suele argumentar que fueron los juegos de azar los que animaron a importantes pensadores a estudiar este tipo de sucesos; omitiéndose que la auténtica motivación que consolidó el Cálculo de Probabilidades fue el sustrato de aleatoriedad que encontraron en las observaciones económicas y en los problemas relativos a los seguros, pensiones anuales y, estadísticas de la población.
Se suele argumentar que fueron los juegos de azar los que animaron a importantes pensadores a estudiar este tipo de sucesos; omitiéndose que la auténtica motivación que consolidó el Cálculo de Probabilidades fue el sustrato de aleatoriedad que encontraron en las observaciones económicas y en los problemas relativos a los seguros, pensiones anuales y, estadísticas de la población.
La creación de la probabilidad se les atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo.
Se dice que la probabilidad surgió como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos del azar, por ejemplo, saber cuántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de que salga algún seis supere el 50%.
Se dice que la probabilidad surgió como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos del azar, por ejemplo, saber cuántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de que salga algún seis supere el 50%.
APORTACIONES POR CADA MATEMATICO.
BLAISE PASCAL
Seis años más tarde junto con el matemático francés Pierre de Fermat, Pascal formulo la teoría matemática de la probabilidad, que ha llegado a ser de gran importancia en estadísticas actuariales, matemáticas y sociales, así como un elemento fundamental en los cálculos de la física teórica moderna.PIERRE DE FERMAT
De estos estudios, Fermat dedujo un importante método de cálculo de probabilidades. También se intereso por la teoría de números y realizo varios experimentos en este campo. Por estas aportaciones hubo quien le considero el padre de la teoría moderna.
