Probabilidad y Estadistica Dinamica

TECNICAS DEL CONTEO

Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados.

Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades.

Las posibilidades serían: 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.

LA TÉCNICA DE LA MULTIPLICACIÓN
La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas.
En términos de fórmula
Número total de arreglos = m x n
Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:
Número total de arreglos = m x n x o.

Ejemplo:
Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?
Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).
Número total de arreglos = 3 x 2

La Técnica de la Permutación

La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo un grupo de objetos.

Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?
Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes:
T D C D T C C D T T C D D C T C T D.

Permutación:
El número de permutaciones de n objetos es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden.

Permutaciones En n Objetos
Permutaciones de n elementos tomando n a la vez es igual a:
nPn = n! = (n) x (n-1) x… x (2) x (1).

Ejemplo
Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa manufacturera serán sentados juntos en un banquete. Determinar el número de diferentes posiciones posibles de los asientos para los cinco individuos.
Solución
n Pn = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120.

Permutaciones En Subgrupo De n Objetos
El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, donde r es menor que n es igual a: nPr = n!/ (n-r)!
Ejemplo:
En relación al ejemplo anterior, supongamos que sólo a tres de los cinco directivos se les pedirá representar a la compañía en el banquete. ¿Cuántas diferentes posiciones serán posibles en la mesa considerando que pueden ser elegidos tres cualesquiera de los cinco individuos?
Solución
n Pr = 5 P3 = n!/ (n - r)! = 5!/ (5 - 3)! = (5)(4)(3)(2)(1)/ (2)(1) = 60

La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:

Donde:
nPr: es el número de permutaciones posible.
n: es el número total de objetos.
r: es el número de objetos utilizados en un mismo momento.
!: Factorial.

Ejemplo:
Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?

En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguiente:
n Pr = nr

Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden formar con las letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son las siguientes:
AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC
Usando la fórmula:
n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9
Otro ejemplo: cuantas palabras de 4 letras se pueden formar con la palabra PERMUTACION.
=7920

2.- cuantos arreglos se pueden formar con las letras COMPUTADORA.
12P(2)(2)(1)(1)= = TE TOCA A TI DAR EL RESULTADO…

Permutación con remplazo o sustitución